Site-ul propriu - un sistem de ecuații cu două variabile
Sistemul de ecuații cu două variabile. Ecuațiile primul grad. moduri de a rezolva
Ecuația poate conține nu una, ci două variabile. Este clar că astfel de ecuații se numesc ecuații cu două variabile.
Sistemul de ecuații - două sau mai multe ecuații care pot fi manipulate pentru a găsi soluții comune. Un sistem de două ecuații Comisiei, și includ două variabile, valorile care sunt comune pentru ambele ecuații. Cu un singur sistem de ecuații este rezolvată altul, și în cele din urmă rezolvate ambele ecuații sistem.
Metode de rezolvare a sistemului de ecuații de gradul I.
1. Decizia a metodei de substituție.
Concluzia este că sistemul selectează ecuațiile cele mai simple în care o variabilă este exprimată printr-o alta. Membru supleant ce rezultatul în a doua ecuație, astfel, converti într-o ecuație simplă, cu o singură variabilă. Calculați această ecuație și obține valoarea unei variabile. Acesta este substituit în prima ecuație și obține valoarea celei de a doua variabilă. Deci, vă decideți întregul sistem de ecuații.
Exemplu. Noi rezolva sistemul de ecuații
│x + y = 1
│2x - y = 2
Prima ecuație este mai ușor al doilea sistem - și să-l utilizați.
Noi exprima în x de y:
Înlocuim această valoare a lui x în a doua ecuație noastră și pentru a găsi valoarea lui y:
Trebuie să y. Noi l substituie în prima noastră ecuație și să găsească acum valoarea lui x:
Am găsit valorile ambelor variabile.
2. Decizia metodei de adăugare.
Această metodă este necesar să se aplice, în cazul în care adăugarea unuia dintre necunoscut dispare.
EXEMPLUL 1 Să ne rezolve sistemul de ecuații
Noi adăugăm (de scădere), pe termen de termen a sistemului de două ecuații:
Dezvăluie paranteze în ambele ecuații și de a reduce termeni similari. Ca rezultat, în prima ecuație dispare la. În al doilea rând de x. Vom obține o ecuație cu o singură variabilă, care este mai ușor de rezolvat:
│ x + y + x - y = 6
│ x + y - x + y = 4
producând în mod opțional un plus reciproc și scăderea a două ecuații. Este suficient de des pentru a face una din cele două lucruri, pentru a calcula valoarea uneia dintre cele două variabile. Și cunoscând o singură variabilă, suntem capabili de a găsi cu ușurință de-al doilea.
Exemplul 2. Pentru a rezolva sistemul de ecuații
│2h + 4y = 26
│8h + 4y = 44
În ambele ecuații este numărul 4y. Prin urmare, putem aplica metoda însumării. În acest caz, nu produc un plus reciproc și de a efectua doar o singură acțiune: scade de-al doilea din prima ecuație a 4y a dispărut, iar rezultatul a fost o ecuație cu o singură variabilă:
2x + 4y - 8x - 4y = 26 -. 44
Acum putem găsi valoarea lui y. substituind valoarea lui x în oricare dintre cele două ecuații:
Răspuns. x = 3, y = 5.
Cu toate acestea, să ne ia în considerare un alt exemplu.
EXEMPLUL 3 Să ne rezolve sistemul de ecuații
│3h + 5y = 21
│8h - 3y = 7
Nu există variabile cu aceiași coeficienți, astfel scăzând au dispărut. Ce se poate face în acest caz? Pentru astfel de cazuri, a inventat o soluție originală: termwise multiplica prima ecuație de 3, iar al doilea de 5. Din acest adevăr nu doare, pentru că avem doar echivalentul a ecuației. Dar, datorită acestei recepții, vom avea aceeași 15U variabilă:
│ (3 + 5y = 21) 3 ·
│ (8x - 3y = 7) · 5
│3 · 3 · 3 + 5y = 3 · 21
│5 · 8x - 3y = 5 x 5 x 7
│9h = 15U + 63
│40h - 15U = 35
Așa că am avut aceleași variabile, și putem adăuga cele două ecuații pentru a ajunge la o ecuație cu o singură variabilă:
9x + 40x + 15U - 15U = 63 + 35
Rămâne de a găsi valoarea a doua variabilă, înlocuind valoarea lui x. de exemplu, în prima ecuație:
Răspuns. x = 2; y = 3.
Din nou, nu avem nevoie întotdeauna de a converti cele două ecuații ale sistemului așa cum a fost în exemplul anterior. De asemenea, se întâmplă că este suficient să se schimbe doar una din ecuațiile.
EXEMPLUL 4 Să ne rezolve sistemul de ecuații:
│3h - 4y = 7
│h + 3y = 11
Aici suficient a doua ecuație înmulțită cu -3. Apoi obținem -3H- numărul și ajunge la o ecuație într-o singură variabilă adăugând cele două ecuații.
Deci, înmulțim a doua ecuație de -3:
Acum vom adăuga cele două ecuații, vom ajunge la o ecuație cu o singură variabilă y și de a rezolva aceasta:
Și găsi valoarea lui x. Este mai ușor de făcut în a doua ecuație:
Răspuns. x = 5; y = 2.
3. Decizia prin introducerea unei noi variabile.
Exemplu. Rezolva sistemul de ecuații
Înainte de a ne este un sistem de ecuații complexe, numere fractionare complicate. Sarcina noastră - pentru a le simplifica, în scopul de a decide apoi. Dacă aplicați oricare dintre primele două metode vor obține ecuații și mai complexe. Dar metoda adecvată de introducere a unei noi variabile prin care putem înlocui o întreagă rolă de o singură variabilă. Cum de a face acest lucru?
Vă rugăm să rețineți: în primul dintre cele două ecuații denominatorii egale x - 3Y, cu numărătorii lor împărțită la 2. În al doilea număr este de asemenea numărătorii identice 2x + y, și numărătorii lor împărțit la 3. Acest lucru va folosi.
1) Noi scriem din nou sistemul nostru de ecuații pentru factorul numărătorul de-a doua ecuație și le indure o fracție:
Acum, în ambele ecuațiile au exact aceeași prima fotografie și a doua împușcat exact la fel.
2) Se înlocuiește aceste fracțiuni nou variabile a și b, după cum urmează:
Așa că simplifică foarte mult ecuațiile care capătă o formă complet diferită:
3) Se aplică metoda de substituție familiară.
Prima ecuație este mai ușor, așa că la început ne exprimăm prin și b:
Substitut valoarea obținută ca în a doua ecuație, descoperim bretele termeni similari și se calculează valoarea numerică a b:
Odată ce știm valoarea numerică a b. atunci putem găsi cu ușurință valoarea numerică a unei. Este mai ușor de a face cu prima ecuație:
Se potrivește într-o fracțiune din aceste valori ale a și b:
4) Să ne transformăm aceste ecuații cunoscute să excludeți: stânga necunoscut, cunoscut la dreapta:
│ x - 3y = 2. 1
│2h + y = 3 1
│ x - 3y 2 =
│2h + y = 3
5) Rezolvarea acestui sistem de ecuații din nou, prin metoda de substituție. Pentru a exprima acest lucru în ceea ce privește y, în prima ecuație x:
Înlocuim în a doua ecuație și de a găsi în:
Și prima ecuație găsim x:
Am găsit valorile lui x și y în sistemul nostru inițial de ecuații - și apoi a decis.
Răspuns. x = 7,11, y = -1/7
După cum se poate observa din acest exemplu, există cazuri când în rezolvarea sistemului de ecuații trebuie să fie aplicate în mod constant mai multe metode.