Cum de a calcula limitele de funcții

§ 20. Funcția Limita

203. Funcția limită y = f (x) la x-> oo.

asimptotă orizontală. Numărul b este apelată funcția limită ca dacă este, tot ce este numărul, există un număr astfel încât pentru toate inegalitatea. Scrie :.

Geometric, acest lucru înseamnă că funcția de program pentru selectarea unei valori suficient de mare se apropie infinit o linie dreaptă, adică. E. distanța de la punctul grafic pentru a direcționa punctul mai departe la infinit se poate face mai mică decât oricare dintre Direct numit în acest caz, asimptota orizontală a graficului y = f

Luați, de exemplu, funcția pentru această funcție avem. Rețineți că „este mai mare valoarea aleasă a argumentului, mai puțin diferit de valoarea zero a funcției, iar acest lucru

diferență poate fi făcută mai mică decât orice anumit număr pozitiv e. Adică. Acest lucru este confirmat și geometrically: linia dreaptă este o asimptotă orizontală a graficului funcției (Fig direct poate fi o asimptotă orizontală a graficului funcției și alegerea modulului suficient de mare, dar valorile negative ale argumentului (Figura 97), atunci spunem că numărul b este funcția limită ca fiind și .. a scris: De exemplu,

În cele din urmă, linia poate fi o asimptotă orizontală a graficului funcției, când și când. De exemplu, o asimptota dreaptă orizontală a graficului funcției. În acest caz, se spune că numărul b este funcția limită în urmărirea și scrie :. Deci, egalitatea adevărată

Numărul b este apelată funcția limită ca fiind

în cazul în care, tot ce este numărul, există un număr astfel încât pentru toate inegalitatea

Numărul b este apelată funcția limită într-un efort de a fi numărul avem, există un număr astfel încât pentru orice astfel încât inegalitatea.

Cunoscând funcția de limitare la o asimptotă orizontală poate construi grafic (dacă limita este 6, asimptota orizontală); înapoi: dacă știm asimptota orizontală a graficului unei funcții, se poate concluziona la limita - o asimptotă orizontală, atunci

204. limite Găsirea ca x-> oo.

Pentru a calcula limitele funcțiilor atunci când este utilizat următoarea teoremă despre operațiunile exterior:

Exemplul 1. Se calculează

Decizie. Divizând numărătorul și numitorul termenului de termen pentru a obține în continuare

Deoarece (vezi. P. 203), apoi folosind teoremele obține.

Exemplul 2. Găsiți asimptota orizontală a graficului momentului.

Decizie. , Este necesar să se calculeze limita funcției pentru a găsi asimptota orizontală la. avem

Prin urmare, asimptota orizontală a graficului funcției.

205. Limita unei funcții într-un punct. Funcții continue.

Luați în considerare faptul că funcția de grafică sunt prezentate în Figura 100. Aceasta este o funcție diferită, ele diferă în comportamentul lor în punctul Dacă în toate cele trei cazuri, observăm că, mai aproape, cea mai mică valoare a funcției sau diferite, sau numărul de b - această diferență este caracterizată prin expresia, respectiv. Pentru oricare dintre funcțiile în cauză se spune că limita funcției tinde spre o este b; scrie, respectiv:

Subliniem încă o dată că această valoare funcție la punctul precum (și chiar existența sau inexistența acestei valori) nu este luată în considerare.

Determinarea formulat după cum urmează: numărul B se numește limita funcției tinde spre o dacă, indiferent de numărul este luată, pentru toate suficient de aproape de o valoare care este, pentru toate dintr-o vecinătate a unui punct cu posibila excepție, probabil, acest lucru foarte punct .. , inegalitatea

Să ne întoarcem încă o dată la Figura 100. Observăm că funcția a cărei grafic este prezentat în Figura 100 și egalitatea Dacă funcția se numește continuă la o.

Dacă funcția este continuă în fiecare punct al intervalului, atunci se spune să fie continue în acest interval. Dacă o funcție continuă definită pe intervalul de la punctele a și b și punctul de interval de aspirație la punctele a și b, respectiv, valorile tind la valori ale funcției numite continuă pe intervalul

206. asimptota verticală.

Graficul funcției prezentat în Figura 101, și are următoarele caracteristici: indiferent de numărul avem, puteți găsi un cartier al unui astfel încât pentru oricare din acest cartier mod grafic ordonatelor corespunzătoare va fi mai mult, adică ... Ei spun că linia este asimptota verticală a graficului funcției și scrie: De exemplu, graficul functiei are o asimptotă verticală și o asimptota y orizontală = 0 (. Figura 101, b); grafic funcție are o asimptotă verticală); Funcția diagramă a asymptotes verticale și t. d.

Dacă în momentul unei funcții continue, prichemr, asimptota verticală a graficului funcției

De exemplu, graficul funcției are două asymptotes verticale: valorile indicate ale numitorul este zero.

207. Evaluarea limitelor funcției la.

Pentru a calcula limitele funcțiilor la cele mai importante fiind următoarele fapte:

1) orice funcție elementară t. E. O funcție definită analitic rațională (a se vedea. P. 48), un irațional (vezi. P. 48), transcendental (vezi. P. 118) expresia sau expresia compusă din următoarele acțiuni prin intermediul finit numărul de operații aritmetice, continuu, în orice punct din interiorul domeniului funcției (de exemplu, în orice punct aparținând domeniului funcției, împreună cu o parte din vecinătatea sa ..); Dacă un punct interior al domeniului funcției complexe și funcția de compozit este continuă în punctul;

2) în cazul în care funcția este continuă la nivelul

Exemplul 1. Se calculează.

Decizie. Punctul de punct interior al domeniului funcției înseamnă că funcția este continuă

în acest moment. Deci avem, Exemplul 2. Se calculează

Decizie. Functia este continua. Avem:

Exemplul 3. Se calculează

Decizie. Funcția nu este definită în punctul, deoarece la acel punct numitorul este zero. Deoarece numărătorul este nenul la punctul, apoi scrie: (vezi p 206 ..); linie este asimptota verticală a graficului funcției

Exemplul 4. Se calculează

Decizie. Aici, spre deosebire de exemplul anterior, atât numărătorul și numitorul este egal cu 0 la. În aceste cazuri, limita pentru calcularea identității necesare transformarilor expresiei definirea funcției.

De când valoarea funcției în punctul nu este luată în considerare (vezi. P. 205), fracția poate fi redusă pentru a obține. Astfel,

Exemplul 5. Se calculează

Decizie. Atunci când atât numărătorul și numitorul recursului

zero. Efectuați următoarele conversii ale expresiei: