Care este numerele raționale în matematică 1

CAPITOLUL II. numere raționale

§ 1. Definirea numerelor raționale

După cum am văzut, setul de numere naturale

închise în plus și de multiplicare, și setul de numere întregi

închise în plus, multiplicarea și scădere. Cu toate acestea, nici unul dintre aceste seturi nu este închisă în ceea ce privește divizarea, deoarece împărțirea numerelor întregi pot duce la fracții, cum ar fi în cazurile de 4/3, 7/6, -2/5, etc. Setul tuturor acestor fracțiuni formează setul de numere raționale. Astfel, un număr rațional (fracție rațională) este un număr care poate fi reprezentat în forma în care a și d - sunt întregi și d nu este zero. Facem despre această definiție câteva comentarii.

1) Cerem ca d este nenul. Această cerință este (inegalitatea înregistrată matematic) este necesară, deoarece există un divizor de d. Luați în considerare următoarele exemple:

În cazul 1, d este un divizor în sensul capitolului anterior, t. E. 7 este un divizor exacta 21, Daca d 2 este încă un divizor, dar într-un alt sens, pentru că 7 nu este divizor precis 25.

Dacă 25 de apel divizibile, și 7 - divizor, atunci vom obține un privat 3 și restul 4. Deci, separatorul cuvânt este folosit aici într-un sens mai general și se aplică la un număr mai mare de cazuri decât în ​​Ch. I. Cu toate acestea, în cazuri cum ar fi Cazul 1, rămâne conceptul împărțitor aplicabil introdus în cap. I; Prin urmare, este necesar, ca în Sec. I, exclude d = 0.

2) Menționăm că, în timp ce exprimarea numărului rațional și fracțiunea rațională sunt cuvânt sinonime sine fracțiune este utilizat pentru a desemna orice expresie algebrică constând din numărătorul și numitorul, ca, de exemplu,

3) Definirea unui număr rațional include expresia „un număr care poate fi reprezentat în forma în care a și d - întregi și. De ce nu poate fi înlocuit cu „de forma, unde a și d - numere întregi și motivul pentru aceasta este faptul că există infinit de multe moduri de a exprima aceeași fracție (de exemplu, 2/3 poate fi scris ca 4/6, 6 / 9, 213/33, sau sau sau și așa mai departe. p.), și ne este de dorit ca definiția noastră a unui număr rațional care nu depinde de mijloacele particulare de exprimare.

Fracțiunea definită, astfel încât valoarea sa nu se schimba prin înmulțirea numărătorul și numitorul cu același număr. Cu toate acestea, nu vă pot spune întotdeauna doar uitându-te la acest împușcat, este rațional sau nu. Luați în considerare, de exemplu, numărul de

Nici unul dintre ei în fișa de contact selectat nu este tipul de unde a și d - întregi.

Putem, totuși, să facă o lovitură pe prima serie de conversii aritmetice și de a primi

Ajungem astfel la o fracțiune rezultat egal fracții clorhidric, pentru care. Numărul Prin urmare rațional, dar nu ar fi rațional dacă definiția unui număr rațional necesar pentru a forma un număr a avut un / b, unde a și b - întregi. În cazul fracției de transformare

duce la un număr. În capitolele următoare, vom afla că numărul nu poate fi reprezentat ca un raport de două numere întregi, și, prin urmare, nu este rațional sau, cum se spune, este irațională.

4) Trebuie remarcat faptul că orice număr întreg rațional. După cum tocmai am văzut, este adevărat, în cazul 2. În general, orice numere întregi pot fi atribuite în mod similar cu fiecare dintre ele un numitor egal cu 1, și să obțină reprezentarea lor sub formă de fracții raționale:

exerciții

1. Să se arate că numărul 2 poate fi scrisă sub forma unei fracții raționale (cu întreg) număr infinit de moduri.

2. arată că un număr rațional poate fi scris ca fracție număr rațional infinit de moduri.

3. arată că numărul 0 poate fi scris ca fracție număr rațional infinit de moduri.

4. Dovedește că fiecare număr rațional are un număr infinit de puncte de vedere diferite, sub forma unei fracții raționale.

5. Determinarea. Fie K - un număr arbitrar. K este inversul unui număr care 1. Din această definiție, rezultă că toate numerele, cu excepția 0 au inversele. Dacă vi se administrează un număr care, prin definiție, numărul său inversă satisface ecuația aici

(Această expresie este semnificativă numai dacă) Să se arate că conversa la orice număr rațional (diferit de zero) este un număr rațional.