Asemănarea triunghiurilor
Asemănarea triunghiurilor
Teorema 44. Simptom 1. În cazul în care două perechi de laturi ale triunghiului sunt proporționale, iar unghiurile încheiate între aceste părți sunt egale, atunci triunghiuri sunt similare.
Dovada. Fie a si b laturi ale triunghiului ABC sunt proporționale cu laturile și „și b“ triunghiului A'B'C“. Transforma triunghiul ABC este similar cu coeficientul de similaritate k = a '/ a = b' / b. Apoi, triunghiul din nou rezultat A''V „'S«»și triunghiul A'B'C“ sunt două perechi de laturi egale și unghiuri egale încheiate între aceste părți. Triunghiuri A''V ''S «și A'B'C» sunt egale, pe baza egalității de triunghiuri, triunghiuri sunt similare cu originalul.
Teorema 45. Simptom 2. Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu cele trei laturi ale celuilalt, atunci triunghiuri sunt similare.
Dovada. Unul dintre triunghiuri transforma ca, astfel încât una dintre laturile sale devin egală cu partea corespunzătoare a celuilalt triunghi. Apoi egalizat trei perechi de laturi, iar al doilea triunghi va fi egal cu convertit; pornind de triunghiuri sunt similare.
Teorema 46. Simptom 3. Dacă cele două colțuri ale triunghiului sunt egale cu două colțuri ale celuilalt, triunghiuri sunt similare (desigur, acest lucru va fi colțuri egale și a treia triunghiuri).
Dovada. Transforma una dintre triunghiuri cum ar fi, astfel încât o parte a acesteia a devenit egală cu latura corespunzătoare celui de al doilea triunghi. Noi acum argumenta ca în precedent.
Notă. Pentru triunghiuri unghi drept au suficient de oricare dintre următoarele condiții:
Teorema 47. În cazul în care datele pentru egalitatea de triunghiuri dreptunghiulare deține o pereche de unghiuri ascuțite, astfel încât triunghiurile sunt similare
Teorema 48. Dacă există o proporționalitate de date pentru picioare triunghiuri dreptunghiulare, aceste triunghiuri sunt similare dreptunghiulare
Teorema 49. Dacă există o proporționalitate a unei perechi de picioare, iar pentru triunghiuri dreptunghiulare ipotenuza date, astfel triunghiuri dreptunghiulare sunt similare
Perimetrele și zonele de triunghiuri similare.
Dacă două triunghiuri sunt similare cu coeficient de similaritate k. părțile sunt în legătură cu k lor. și anume
Teorema 50. Perimetrul de triunghiuri similare sunt părți relevante.
Atunci când o astfel de conversie figura toate unghiurile sunt conservate, liniile sunt schimbate în același număr de ori. Prin urmare, înălțimea h a triunghiului, atunci când conversia homothety cu coeficientul k intră înălțimea h „a triunghiului. Pentru zona triunghiului va avea
și anume transformarea zonei de similaritate este înmulțită cu pătratul factorului de similaritate.
Teorema 51. Zonele de triunghiuri similare (și, în general, orice cifre) sunt pătratele dimensiunilor liniare.
Teorema 52. (CEVA) Fie punctele A1, B1 și C1 aparțin laturile BC, AC și triunghiul AB ABC. Segmente AA1, BB1 și CC1 se întâlnesc la un moment dat, dacă și numai dacă, atunci când
Dovada: Noi mai întâi arată că, în cazul în care segmentele se suprapun, raportul de produs este egal cu 1. Fie O - punctul de intersecție al segmentelor AA1, BB1 și CC1. Trage o linie dreaptă prin A q, paralel cu linia BC (fig. 43). Noi extindem segmentele BB1 și CC1 pentru punctele B1 și C1 până la intersecția cu linia q drept la punctele B1 și respectiv C2. Apoi, triunghiuri BOA1 și B2OA similare în cele două colțuri. De asemenea, triunghiuri similare și COA1 C2OA. În consecință, CA1. A1B = C2A. AB2. De asemenea, triunghiuri similare și BB1C B2B1A, și, prin urmare, B1A. B1C = AB2. CB. In mod similar BC1: C1A = BC. AC2. Multiplicarea trei obține egalitate, obținem:
Noi acum arată că, dacă raportul este egal cu 1, aceste segmente se intersectează la un moment dat. Să presupunem că acest lucru nu este așa, iar segmentele AA1 și BB1 se întâlnesc la O. Prin C și O un punct direct. Lăsați această linie intersectează partea AB la punctul K. În acest caz, punctele A1, B1 și K satisface această relație în ceea ce sa dovedit mai sus. Dar punctele A1, B1 și C1 întâlni, de asemenea, acest raport. Deci, punctul K și C1 divide partea AB în proporții egale, adică ele coincid. Dar CK trece prin punctul O. Astfel, segmentul de CC1 trece, de asemenea, prin acest punct. Deci, segmentele AA1, BB1 și CC1 se întâlnesc la O. QED. Teorema este demonstrată.