Teoria limitelor

Teoria limitelor - una din secțiunile de analiză matematică, care este una puterea de a stăpâni, în timp ce alții cu greu limitele calculate. Problema de a găsi limitele este destul de comună, deoarece există zeci de metode de soluții în cadrul diferitelor specii. Aceeași limită poate fi găsit atât în ​​regula L'spitalului, și fără ea. Se întâmplă că programul într-un număr de funcții infinitezimal vă permite să obțineți rapid rezultatul dorit. Există un set de tehnici și trucuri care permit găsirea limitei funcției de orice complexitate. În acest articol, vom încerca să înțelegem tipurile de bază de limite, care sunt cel mai des întâlnite în practică. Teoria și definirea limitei, nu vom da aici, o mulțime de resurse de pe Internet, în cazul în care acesta este mestecată. Noi calcule, prin urmare, practic, acest lucru este în cazul în care tu și începe „Nu știu! Nu pot! Noi nu suntem învățați!“

Exemplul 1. Găsiți limita funcției
Lim ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5), x = 3).
Soluție: Exemplele din teoria acestui tip sunt de obicei calculate prin substituirea

Limita este 18/11.
Nimic complicat și înțelept într-un astfel de interval nu - valoare substituită, calculată, înregistrată ca răspuns la limita. Cu toate acestea, pe baza unor astfel de limite tuturor învățat că mai întâi de toate, trebuie să înlocuiți valoarea funcției. complică și mai mult limitele, a introdus conceptul de infinit, incertitudine, și altele asemenea.

Exemplul 2. Găsiți funcția limită
Lim ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4), x = infinit).
Soluție: stabilirea limitelor de tip polinomial este împărțit de polinomului, iar variabila tinde la infinit

O substituție simplă de valori la care nu variabilă va fi de a găsi limita, nedeterminare infinit împărțit la infinit.
Pot algoritm de calcul limite teorie este de a găsi limita maximă măsură „X“ în numărătorul sau numitorul. În plus, simplifică numărătorul și numitorul sunt limita

Deoarece valoarea la zero ca variabilă au neglijat la infinit, sau înregistrat în expresia finală sub formă de zerouri

Chiar de la practica, puteți obține două concluzii care sunt în calculele determinat. Dacă variabila tinde la infinit și gradul de numărătorul de numitorul mai mare atunci limita este infinit. În caz contrar, în cazul în care polinomul numitor de ordine mai mare decât limita numărător este zero.
Formulele limită poate fi scrisă ca

Dacă avem o funcție normală a formei unui jurnal, fără fracțiuni, atunci limita este egală cu infinit

Următorul tip de limite se referă la comportamentul funcțiilor aproape de zero.

Exemplul 3. Găsiți limita funcției
Lim ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x = 0).
Soluție: Ați face deja este nevoie de senior multiplicator polinom. Până în dimpotrivă, este necesar să se găsească cel mai scăzut grad de numărătorul și numitorul, precum și pentru a calcula limita

Valoarea lui x ^ 2; x tind la zero atunci când variabila tinde la zero, prin urmare, este neglijată, așa că am obține

limita este de 2,5.

Acum știi cum să găsească limita de tip polinom împărțit la polinomul atunci când variabila tinde la infinit sau 0. Dar aceasta este doar o mică și lumina exemplelor. Din materialul următor vă va învăța cum să dezvăluie limitele de incertitudine ale funcțiilor.

Imediat toate amintesc regula potrivit căreia nu puteți împărți cu zero. Cu toate acestea, teoria limitelor, în acest context, înseamnă funcție infinitezimal.
Luați în considerare câteva exemple pentru claritate.

Exemplul 4. Găsiți limita funcției
Lim ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1), x = -1).
Soluție: Atunci când este substituită în numitorul valorii variabilei x = -1 obține la zero, obținem același lucru în numărător. Deci avem forma nedeterminată 0/0.
Deal cu astfel de incertitudini pur și simplu: este necesar să se descompună polinomul în factori, ci mai degrabă separat factorul care transformă funcția de la zero.

După descompunerea funcției limită poate fi scrisă ca

Asta e toata tehnica de calcul a limitei unei funcții. Deci, vom face în cazul în care există o limită de forma polinomului împărțit la un polinom.

Exemplul 5. Găsiți limita funcției
Lim ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2x-10), x = 2).
Soluție: spectacole de substituție directe
* 4-7 * 2 2 + 6 = 0;
3 * 04.02.10 = 0
că avem de tip 0/0 incertitudine.
Împărțim polinoame pe mărci facilitate de multiplicare kotorіy


Sunt profesori care predau că polinoamele de ordine 2, care este ca „ecuații pătratice“ ar trebui să fie rezolvate prin discriminant. Dar practica reală arată că această lungă și confuz, așa că obține caracteristici în cadrul algoritmului de aruncare specificat. Astfel funcția de înregistrare ca un factor de multiplicare simplu și un vіchislyaem limită

După cum puteți vedea, nimic complicat în calcularea acestor limite nu. Împărtășește polinoame în momentul în care sunt în măsură să exploreze limitele, cel puțin conform programului ar trebui să treacă prin.
Printre sarcinile incertitudinii de tip 0/0 sunt de așa natură încât trebuie să aplice formulele de multiplicare prescurtate. Dar dacă nu le cunosc, divizarea unui polinom de un monom poate obține cu formula dreapta.

Exemplul 6. Găsiți limita funcției
Lim ((x ^ 2-9) / (x-3), x = 3).
Soluție: Avem de tip 0/0 incertitudine. În numărătorul, folosim Acronimul formula de multiplicare

și se calculează o nuzhnіy limită

Metoda este aplicată limitele în kotorіhneopredelennost genera funcții iraționale. Numărătorul sau numitorul devine calculul punctului de zero și știe cum să găsească frontiera.

Exemplul 7. Găsiți limita funcției
Lim ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6), x = 2).
Soluție: Imaginați-vă o variabilă în formula

Când obținem un tip de incertitudine de substituție 0/0.
Conform teoriei circuitului limitelor de ocolire a acestei funcții este de a multiplica expresii iraționale din conjugat. Că expresia nu a schimbat numitorul să fie împărțit la aceeași valoare

Prin pătrate regulă diferența vom simplifica numărătorul și calcula limita funcției

Noi simplifica termeni care creează caracteristici în interiorul și să execute o schimbare

Exemplul 8. Găsiți limita funcției
Lim ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x), x = 3).
Soluție: substituție directă arată că limita are o singularitate a formei 0/0.

Pentru a dezvălui multiplica și divide prin conjugat numărătorului

Scrieți diferența de pătrate

Simplificarea termenilor care fac caracteristica și pentru a găsi limita funcției

Calcularea limitelor în Maple

Acest material este util mai ales pentru studenți. Poate că în curriculum, iar unele pentru mine studierea programe de matematică pentru a facilita soluții de formare și de testare. Acesta poate fi matematic MathSad pachete Mathematica, Maple. Calcularea limitelor în Maple destul de simplu pentru a organiza chiar și un novice. Tot ceea ce este necesar - dreptul de a intra în funcția în care.

Limita de prima funcție a celor care au văzut Maple au următoarea intrare. Hit sfârșitul „Enter“ și a obține limitele valorice finale
> Limita ((x ^ 2 + 3 * x) / (2 * x + 5), x = 3);
18/11

Întindere se obține oa doua funcție a înregistrării

> Limita ((x ^ 2 + 2 * x) / (4 * x ^ 2 + 3 * x-4), x = infinit);
1/4

Al treilea exemplu ia forma:

> Limita ((x ^ 2 + 3 * x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x = infinit);
1

Maple fără probleme este prima limită remarcabilă

> Limita (sin (x) / x, x = 0);
1

și o a doua limită remarcabilă

> Limita ((1 + 1 / x) ^ x, x = infinit);
exp (1).

Fragment calcularea limitelor matematice pachetului Maple este prezentat mai jos

Cu Maple puteți găsi cu ușurință limita logaritmului, trigonometrice, exponențială, și alte funcții.