Teorema Wyeth inversa teorema formula Wyeth

Între rădăcinile și coeficienții ecuației pătratice. în afară de rădăcini formule există și alte rapoarte utile care sunt date teorema Wyeth. În acest articol vom da formulare și dovada teorema lui Vieta pentru ecuația de gradul doi. În continuare considerăm teoria inversa teorema Vieta. După aceea, vom analiza soluția din exemplele cele mai caracteristice. În final, vom scrie formula Vieta, definește comunicarea dintre rădăcinile reale ale unei ecuații algebrice de gradul n și coeficienții săi.

Navigare în pagină.

Teorema lui Vieta, formularea probei

Din formulele rădăcini ale ecuației pătratice a · x 2 + b · x + c = 0 specii. unde D = b2 -4 · a · c. raport de curgere x1 + x2 = -b / a. x1 · x2 = c / a. Aceste rezultate sunt aprobate de către teorema Vieta.

Dacă X1 și X2 - rădăcinile ecuației pătratice a · x 2 + b · x + c = 0. suma rădăcinilor este egal cu raportul dintre coeficienții b și a. luat cu semn opus, iar produsul radacinilor este raportul dintre coeficienții c și a. adică.

Dovada Wyeth teoremă prin următoarea schemă: formează suma și produsul a rădăcinilor pătrate ale ecuației folosind cunoscute rădăcini formulă, atunci transformăm expresiile rezultate, și să verifice dacă acestea sunt egale cu -b /, respectiv a și c / a.

Să începem cu rădăcinile sumei constituente a acesteia. Acum, da fracțiile la un numitor comun, avem. Numărătorul fracției obținute relevă paranteze. atunci vom da acești termeni. În cele din urmă, după o reducere a fracției 2. obține. Aceasta dovedește prima relație Vieta teorema pentru suma rădăcinilor pătrate ale ecuației. Vom trece la al doilea.

Vom fi produsul din rădăcinile unei ecuații pătratice. Conform regulii de multiplicare a fracțiunilor, acestuia din urmă poate fi scrisă. Acum, face acolade de multiplicare pe suportul de la numărător, dar rola mai rapid este produsul cu formula diferenței de pătrate. asa. Apoi, amintindu definiția rădăcină pătrată. Efectuăm următoarea schimbare. Deoarece discriminantul ecuației pătratice corespunde cu formula D = b 2 -4 · a · c. ultima fracțiune poate fi substituit în locul D b 2 -4 · o · c. Noi primim. După console de expansiune și reducând termeni similari, ajungem la fracțiunea. și reducerea acesteia cu 4 · o dă. Acest lucru se dovedește a doua relație funcționează Wyeth teorema pentru rădăcini.

Dacă omiteți explicația, demonstrația teoremei va forma concisă Vieta:
,
.

Rămâne doar să se constate că discriminante este zero ecuație pătratică are rădăcină. Cu toate acestea, dacă presupunem că ecuația în acest caz, are două rădăcini identice, apar, de asemenea, ecuația teoremei Wyeth. Într-adevăr, atunci când D = 0 este o rădăcină a ecuației pătratice. atunci. și deoarece D = 0. adică, b 2 -4 · a · c = 0. unde b 2 = 4 · a · c. atunci.

În practică, cele mai des folosite Wyeth teorema aplicată dat ecuației pătratice (cu coeficient de conducere a. Egal cu 1) din forma x 2 + p · x + q = 0. Uneori este și de a formula ecuații pătratice este de un tip care nu limitează generalitatea, pentru că orice ecuație trinom poate fi înlocuită cu ecuația echivalentă. o divizie a două părți ale ei printr-un număr de nenul. Iată declarația relevantă a teoremei lui Vieta:

Suma redusă rădăcinile ecuației pătratice x 2 + p · x + q = 0 este coeficientul lui x. luat cu semn opus, iar produsul rădăcinilor - un membru liber, adică, x1 + x2 = -p. x1 · x2 = q.

Teorema, teorema inversa a Vieta

A doua afirmație a teoremei lui Vieta, conținută în paragraful anterior indică faptul că, dacă x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice de mai sus x 2 + p · x + q = 0. atunci x1 + x2 = relațiile -p. x1 · x2 = q. Pe de altă parte, din raporturile înregistrate x1 + x2 = -p. x1 · x2 = q presupune că x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 + p · x + q = 0. Cu alte cuvinte, o afirmație contrară Vieta teoremă. Am afirma ca teorema și o dovedesc.

Dacă numerele x1 și x2 astfel încât x1 + x2 = -p și x1 · x2 = q. x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice de mai sus x 2 + p · x + q = 0.

După înlocuirea în ecuația x 2 + x · p + q = 0 coeficienții p și q expresiile lor în ceea ce privește x1 și x2. este transformată într-o ecuație echivalentă cu 2 x - (x1 + x2) · x + x1 · x2 = 0.

Substituind în ecuația obținută în loc de x număr x1. x1 au egalitatea 2 - (x1 + x2) · x1 + x1 · x2 = 0. care, atunci când orice x1 și x2 reprezintă egalitatea numerică corectă 0 = 0. deoarece x1 2 - (x1 + x2) x1 · x2 + x1 · x1 = 2 2 -X1 -x2 · x1 + x1 · x2 = 0. În consecință, x1 - rădăcina x 2 - (x1 + x2) · x + x1 · x2 = 0. și, prin urmare, x1 - rădăcină și este echivalentă cu ecuația x 2 + p · x + q = 0.

Dacă în ecuația 2 x - (x1 + x2) · x + x1 · x2 = 0 x numărul x2 substitut. obținem ecuația x2 2 - (x1 + x2) · x2 + x1 · x2 = 0. Această egalitate este adevărat, deoarece x2 2 - (x1 + x2) · x2 + x1 · x2 = 2 x2 -X1 · x2 -X2 2 + x1 · x2 = 0. Ca urmare, x2, de asemenea, o rădăcină de x 2 - (x1 + x2) · x + x1 · x2 = 0. și, prin urmare, ecuația x 2 + p + q x ° = 0.

Aceasta completează demonstrația teoremei, teorema inversa a Vieta.

Exemple de utilizare Wyeth Teorema

E timpul să vorbim despre aplicarea practică a teoremei Vieta și inversa ei teoremei. În această secțiune vom analiza decizia mai multor dintre exemplele cele mai caracteristice.

Începem cu aplicarea teoremei inversa teorema Wyeth. Este convenabil să se utilizeze pentru a verifica dacă datele din cele două rădăcini ale ecuației pătratice dată. Se calculează suma și diferența, după care a verificat valabilitatea relațiilor. Dacă ambele aceste raporturi, atunci teorema, teorema inversa a Vieta, se concluzionează că aceste cifre sunt rădăcinile ecuației. În cazul în care nu este îndeplinită cel puțin una dintre condițiile, atunci aceste numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice. Această abordare poate fi utilizată pentru a rezolva ecuații pătratice pentru a verifica rădăcinile găsite.

Care perechi de numere 1) x1 = -5. x2 = 3. sau 2). sau 3) o pereche de rădăcini ale ecuației pătratice 4 · x 2 -16 · x + 9 = 0.

Coeficienții predeterminate ale ecuației pătratice 4 · x 2 -16 · x + 9 = 0 sunt = 4. b = -16. c = 9. Conform teoremei lui Vieta suma rădăcinilor pătrate ale ecuației trebuie să fie egal cu -b / a. adică, 16/4 = 4. și rădăcinile produsului trebuie să fie egal cu c / a. adică, 9/4.

Acum calcula suma si produsul din numerele în fiecare dintre perechile predeterminate, și le compară cu valorile obținute nou.

În primul caz, avem x1 + x2 = -5 + 3 = -2. Valoarea obținută este diferit de 4, prin urmare, în plus, nu se poate efectua check cat pe teorema, feedback-ul teorema Wyeth concluziona imediat că primul număr pereche nu este o pereche predeterminată de rădăcini ale unei ecuații pătratice.

Ne întoarcem la al doilea caz. Aici. și anume, prima condiție este îndeplinită. Verificăm a doua condiție. valoarea rezultată este diferită de 9/4. Prin urmare, a doua pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale unei ecuații pătratice.

Un ultim caz. Aici. Ambele condiții sunt îndeplinite, cu toate acestea, aceste numere x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice dată.

Teorema, teorema inversa a Vieta, în practică, să fie utilizată pentru selectarea rădăcinilor unei ecuații pătratice. rădăcini întregi De obicei selectate dat ecuații pătratice cu coeficienți întregi, deoarece este destul de dificil de făcut în alte cazuri. În acest caz, utilizați faptul că în cazul în care suma a două numere este egal cu al doilea coeficient al ecuației pătratice, luat cu semnul minus, iar produsul acestor numere este termenul constant, aceste numere sunt rădăcinile unei ecuații pătratice. Avem de a face cu acest exemplu.

Ia ecuația pătratică x 2 -5 · x + 6 = 0. Pentru numărul de x1 și x2 sunt rădăcinile acestei ecuații trebuie efectuată de două ecuații x1 + x2 = 5 și x1 · x2 = 6. Rămâne pentru a ridica astfel de numere. În acest caz, este suficient pentru a face simplu: aceste numere sunt 2 și 3. Ca 2 + 3 = 5 și 2 × 3 = 6. Astfel, 2 și 3 - rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Teorema, Teorema inversa Wyeth mai ales convenabil de a utiliza pentru a găsi a doua rădăcină de mai sus a ecuației pătratice, atunci când se cunoaște sau evident una din rădăcini. În acest caz, a doua rădăcină este de la oricare dintre relațiile.

De exemplu, să ia ecuația de gradul doi 512 · x 2 -509 · x-3 = 0. Este ușor de observat că unitatea este o rădăcină a ecuației, ca suma coeficienților din ecuația de gradul doi este zero. Deci, x1 = 1. A doua x2 rădăcină poate fi găsit, de exemplu, din relația x1 · x2 = c / a. Avem 1 · x2 = -3/512. unde x2 = -3/512. Așa că am identificat cele două rădăcini ale ecuației pătratice: 1 și -3/512.

Se înțelege că selectarea rădăcinilor este adecvată numai în cazuri foarte simple. În alte cazuri, căutarea rădăcinilor formulei poate fi aplicată prin rădăcinile unei ecuații discriminantă pătratică.

O altă aplicație practică a teoremei, feedback-ul Teorema Wyeth consta in a face rădăcinile pătrate de ecuații date de x1 și x2. Este suficient să se calculeze suma rădăcinii care dă coeficientul lui x cu semnul opus dat ecuația pătratică și produsul rădăcinii care dă termenul constant.

Scrieți o ecuație de gradul doi ale cărui rădăcini sunt numerele -11 și 23.

Notăm x1 = -11 și x2 = 23. Se calculează suma și produsul acestor numere: x1 + x2 = 12 și x1 · x2 = -253. Prin urmare, aceste numere sunt rădăcinile ecuației pătratice redus la un al doilea coeficient și termen constant -12 -253. Aceasta este, x 2 -12 · x 253 = 0 - ecuația dorită.

x 2 -12 · x-253 = 0.

Teorema lui Vieta este adesea utilizat în rezolvarea problemelor legate de semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Cum teorema Wyeth asociate cu semne rădăcini ale ecuației pătratice date x 2 + p · x + q = 0. Aici sunt două declarații legate de:

• Dacă termenul q constant - și un număr pozitiv dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci fie ambele pozitive sau ambele negative.
• În cazul în care q termenul liber - și un număr negativ, dacă ecuația de gradul doi are rădăcini reale, semnele lor sunt diferite, cu alte cuvinte, o rădăcină este pozitiv, iar celălalt - negativ.

Aceste afirmații sunt derivate din formula x1 · x2 = q. precum și regulile de multiplicare a numerelor pozitive, negative și numere cu diferite semne. Luați în considerare exemple de aplicare a acestora.

Fie că atât rădăcina pozitivă a ecuației pătratice x 2 -64 · x-21 = 0.

Dacă ecuația de gradul doi are două rădăcini, atunci ei nu pot fi atât pozitive, din cauza teorema Vieta pentru care x1 egalitatea · x2 = -21. care nu este posibil cu x1 pozitiv și x2.