Teorema 2 Wyeth

În matematică, există tehnici speciale care multe sunt rezolvate ecuațiilor de gradul doi foarte repede și fără nici un discriminant. Mai mult decât atât, cu o pregătire corespunzătoare, mulți încep să rezolve ecuații pătratice verbal, literalmente „la prima vedere“.

Din păcate, în data de astăzi cu matematica predată în școli astfel de tehnologii este aproape nu a fost studiată. Și să-l cunosc! Astăzi ne uităm la una dintre aceste metode - teorema lui Vieta. Pentru a începe, vom introduce o nouă definiție.

O ecuație pătratică a formei x 2 + bx + c = 0 este dat. Rețineți că coeficientul lui x 2 este egal cu 1. Nu există alte restricții sunt impuse coeficienții.

1. x 2 + x 7 + = 12 0 - este dat o ecuație pătratică;
2. x 2 - 5 x + 6 = 0 - este de asemenea redusă,
3. 2 x 2 - 6 x + 8 = 0 - nifiga dar nu este dat, deoarece coeficientul lui x 2 este egal cu 2.

Desigur, orice ecuație pătratice de forma ax 2 + bx + c = 0 poate fi dat - suficient pentru a partaja toți coeficienții pe numărul a. Putem face acest lucru întotdeauna, deoarece definiția unei ecuații pătratice, rezultă că o ≠ 0 ° C.

Cu toate acestea, nu întotdeauna aceste transformări vor fi utile pentru a găsi rădăcinile. Doar mai jos vom vedea că acest lucru ar trebui să se facă numai în cazul în care piața finală a ecuației de mai sus, coeficienții sunt numere întregi. Între timp, să ne considerăm un exemplu simplu:

Sarcină. Conversia ecuația pătratică dată în:

1. 3 x 2 - 12 x + 18 = 0;
2. -4 x 2 + 32 x + 16 = 0;
3. 1,5 x 2 + 7,5 x + 3 = 0;
4. 2 x 2 + 7 x - 11 = 0.

Împărțiți fiecare ecuație prin coeficientul de variabila x 2. Obținem:

1. 3 x 2 - 12 x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4, x + 6 = 0 - 3 împărțit toate;
2. -4 x 2 + 32 x 16 = + 0 ⇒ x 2 - de 8 x - 4 = 0 - împărțit în -4;
3. 1,5 x 2 + 7,5 x + 3 = 0 ⇒ x 5 + 2 x + 2 = 0-1.5 împărțit în toate rapoartele devin numere întregi;
4. 2 x 2 + x 7 - 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5 x - 5,5 = 0 - împărțit la 2. în acest caz, având coeficienți fracționare.

După cum puteți vedea, date ecuațiile pătratice pot avea coeficienți întregi, chiar și atunci când ecuația inițială conținea o fracție.

Acum Afirmăm teorema principală, pentru care, de fapt, conceptul a introdus ecuația de gradul doi de mai sus:

Teorema vieta. Să considerăm o anumită ecuație pătratică forma x 2 + bx + c = 0. Să presupunem că această ecuație are rădăcini reale x și 1 x 2. În acest caz, următoarele afirmații sunt adevărate:

1. x 1 + x 2 = - b. Cu alte cuvinte, cantitatea redusă de rădăcini ale ecuației pătratice este coeficientul variabilei x. luate cu semnul opus;
2. x 1 · x 2 = c. Produsul a rădăcinilor unei ecuații pătratice este egal cu factorul liber.

Exemple. Pentru simplificare, considerăm dat doar pătratice care ecuațiile nu necesită modificări suplimentare:

Teorema vieta ne oferă mai multe informații despre rădăcinile unei ecuații pătratice. La prima vedere acest lucru ar putea părea complicat, dar chiar si cu minim de instruire învățați cum să „vezi“ rădăcinile și literalmente le ghici în câteva secunde.

Sarcină. Rezolva ecuația pătratică:

1. x 2 - 9 x + 14 = 0;
2. x 2 - 12 x + 27 = 0;
3. 3 x 2 + x 33 + 30 = 0;
4. -7 x 2 + 77 x - 210 = 0.

Să încercăm să scrie coeficienții de teorema lui Vieta, și „ghici“ rădăcini:

1. x 2 - 9 x + 14 = 0 - i se dă o ecuație pătratică.
   Teorema Wyeth are: x 1 + x 2 = - (- 9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Este ușor de observat că rădăcinile - numerele 2 și 7;
2. x 2 - 12 x + 27 = 0 - este de asemenea redus.
   Teorema Wyeth: 1 x + x 2 = - (- 12) = 12; x 1 · x 2 = 27. Prin urmare, rădăcinile: 3 și 9;
3. 3 x 2 + x 33 + 30 = 0 - Această ecuație nu este redusă. Dar o vom repara acum, împărțind ambele părți ale ecuației cu un factor de a = 3. obține: x 2 + 11 x + 10 = 0.
   Rezolvarea pentru teorema Wyeth: x 1 + x 2 = -11; x 1 · x 2 = 10 ⇒ rădăcini: -10 și -1;
4. -7 x 2 + 77 x - 210 = 0 - din nou coeficientul lui x 2 nu este 1, adică ecuația nu este dată. Divide prin numărul tuturor a = -7. Obținem: x 2-11 x + 30 = 0 ° C.
   Teorema Wyeth: x 1 + x 2 = - (- 11) = 11; x 1 · x 2 = 30; din aceste ecuații sunt ușor de ghicit rădăcinile 5 și 6.

Din discuția de mai sus arată modul în care teorema Wyeth simplifică soluția de ecuații pătratice. Nu există calcule complicate, fără rădăcini aritmetice și fracții. Și chiar discriminant (vezi. Lecția „Soluția de ecuații pătratice“), nu a fost nevoie.

Desigur, în toate, am început să mă gândesc de două ipoteze importante, care, în general vorbind, nu se realizează întotdeauna în probleme reale:

1. ecuația pătratică este dată, adică coeficientul lui x 2 este 1;
2. Ecuația are două rădăcini distincte. Din punctul de vedere al algebrei, în acest caz, discriminantă D> 0 - de fapt, am început să presupunem că această inegalitate este adevărat.

Cu toate acestea, în probleme matematice tipice, sunt îndeplinite aceste condiții. În cazul în care rezultatul calculelor sa transformat „rau“ ecuația de gradul doi (coeficientul lui x 2 este altul decât 1), este ușor să se stabilească - o privire la exemplele de la începutul lecției. Despre rădăcinile nu spun nimic, Care este problema în care nu există nici un răspuns? Desigur, radacinile vor fi.

Astfel, schema generală de rezolvare a ecuațiilor pătratice Teorema de Vieta după cum urmează:

1. Redusă la ecuația de gradul doi dat, în cazul în care nu este deja în problema;
2. Daca coeficienții din ecuația de gradul doi de mai sus avansat fracționată, vom rezolva prin discriminant. Puteți merge chiar înapoi la ecuația inițială, pentru a lucra cu un număr de mai multe „confortabile“;
3. În cazul coeficienți întregi prin rezolvarea ecuației teorema Wyeth;
4. În cazul în care în termen de câteva secunde, nu a reușit să ghicească rădăcinile, ciocănire pe teorema lui Vieta și să decidă prin discriminant.

Sarcină. Rezolva ecuația: 5 x 2 - 35 x + 50 = 0.

Deci, avem o ecuație care nu este redusă, deoarece coeficientul a = 5. Fîșia toate cele 5, obținem: x 2 - x + 7 10 = 0.

Toți coeficienții întreg ecuația de gradul doi - încearcă să rezolve de Vieta teorema. Avem: x 1 + x 2 = - (- 7) = 7; x 1 · x 2 = 10. În acest caz, rădăcinile discerne cu ușurință - este 2 și 5. Citiți discriminante nu este necesară.

Sarcină. Rezolva ecuația: -5 x 2 + 8 x - 2,4 = 0.

Uite: -5 x 2 + 8 x - 2,4 = 0 - Această ecuație nu este o dată, vom împărți ambele părți cu coeficientul a = -5. Obținem: x 2 - 1,6 x + 0,48 = 0 - ecuație cu coeficienți fracționare.

Este mai bine să se întoarcă la ecuația inițială și să presupunem prin discriminant: -5 x 2 + 8 x - 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 - 4 + (-5) + (-2.4) = 16 ⇒. ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Sarcină. Rezolva ecuația: 2 x 2 + 10 x - 600 = 0.

Pentru a începe să împartă toate coeficient A = 2. Obținem ecuația x 2 + 5 x - 300 = 0.

Această ecuație este dată de teorema Wyeth avem: x 1 + x 2 = -5; x 1 · x 2 = -300. Ghici rădăcinile în cazul unei ecuații pătratice este dificil - eu personal serios „înghețat“, atunci când a rezolvat această problemă.

Va trebui să căutăm rădăcinile prin discriminante: D = mai două-4 · 1 · (-300) = 1,225 = 35 2. Dacă nu vă amintiți rădăcina discriminant, doar act de faptul că 25 = 49. 1225. Prin urmare, 1225 = 25 · 49 = 5 · 2 7 2 = 35 2.

Acum, că rădăcina discriminant este cunoscută, pentru a rezolva ecuația nu este dificil. Obținem: x 1 = 15; x 2 = -20.

• Pregătirea gratuită pentru examenul de 7 lecții simple, dar foarte util + teme pentru acasă
•