Site personal - Teorema lui Vieta

Teorema lui Vieta

Suma rădăcinilor unei ecuații pătratice se reduce la al doilea coeficient cu semn opus, iar produsul a rădăcinilor este egală cu termenul constant.

(Recall: dat ecuație pătratică - această ecuație, în care primul factor este 1).

Lăsați pătratic ecuația ax 2 + bx + c = 0 are rădăcini x1 și x2. Apoi, prin teorema lui Vieta:

Cele de mai sus ecuația x 2 - 7x + 10 = 0 are rădăcini 2 și 5.

Rădăcinile sum este de 7, iar produsul este 10.

În această ecuație, al doilea coeficient este -7, iar elementul liber 10.

Astfel, suma rădăcinilor este egal cu al doilea coeficient cu semn opus, iar produsul radacinilor - membru gratuit.

Destul de des ecuații pătratice, care pot fi ușor calculate cu ajutorul teoremei Wyeth - mai mult decât atât, poate le ajuta pentru a calcula mai ușor. Acest lucru este ușor de văzut ca în exemplul anterior, precum și în următorul.

Exemplul 2. Rezolva ecuația pătratică x 2 - 2x - 24 = 0.

Se aplică teorema Vieta și scrie două identități:

Alegem acești factori -24, că suma lor este egală cu 2. După unele reflecție găsim: 6 și -4. Verificați:

După cum puteți vedea, în practică, esența teoremei Vieta constă în faptul că, în pătratic ecuația de mai sus termenul constant extins la astfel de factori, a cărei valoare este egală cu al doilea coeficient cu semnul protivoplozhnym. Acești factori, și va fi din nou.

Deci, rădăcinile noastre de o ecuație de gradul doi sunt 6 și -4.

Exemplul 3. Să rezolve ecuația de gradul doi 3 2 + la 2 - 5 = 0.

Aici nu avem de-a face cu ecuația de gradul doi de mai sus. Dar aceste ecuații pot fi, de asemenea rezolvate cu ajutorul teoremei lui Vieta, în cazul în care raporturile lor sunt echilibrate - de exemplu, în cazul în care suma coeficienților primul și al treilea egal cu al doilea cu semnul opus.

Coeficienții ecuației echilibrat: suma primul și al treilea termeni sunt doua egale cu semnul opus:

În conformitate cu teorema Wyeth

Trebuie să găsim două numere a căror sumă este egală cu -2/3, -5/3 și produsul. Aceste numere vor fi rădăcini ale ecuației.

Primul număr este ghicit corect: este 1. Pentru x = 1, ecuația se reduce la simpla adunare, scădere:
3 + 2 - 5 = 0. Cum de a găsi rădăcina a doua?
Noi reprezentăm 1 în formă de 3/3 că toate numerele au același numitor: este mai ușor. imploră imediat măsuri suplimentare. Dacă x1 = 3/3, atunci:

Noi rezolva o ecuație simplă:

Exemplul 4. Pentru a rezolva ecuația pătratică 7x 2 - 6x - 1 = 0.

One rădăcină se găsește la o dată - doar prinde ochiul: x1 = 1 (deoarece se pare că aritmetica 7. - 6 - 1 = 0).

Coeficienții ecuației echilibrat: suma prima și a treia sunt doua egale cu semnul opus:
7 + (- 1) = 6.

În conformitate cu teorema Wyeth compune două identități (deși în acest caz, doar una dintre ele):

Membru supleant valoarea X1 în oricare dintre aceste două expresii, vom găsi x2:

Discriminantul ecuației pătratice de mai sus.

Discriminantul ecuației pătratice de mai sus poate fi calculat ca formula totală și simplificată:

unde p - al doilea coeficient al ecuației pătratice, q - termen constant.