Rata medie și instantanee de schimbare a funcției

Există diferite caracteristici care permit să descrie în detaliu comportamentul funcției în vecinătatea punctului dat. O astfel de caracteristică este rata medie de schimbare a funcției interval, care reprezintă raportul dintre schimbarea unei funcții o modificare corespunzătoare argumentului:

„Argumentul pentru a schimba“ termeni și „schimbarea funcției“ generează o asociere cu un anumit proces dinamic în care argumentul joacă rolul de timp și funcția acestui argument caracterizează distanța parcursă ori viteza de mișcare a particulelor. Lista de astfel de interpretări poate continua, ceea ce implică o schimbare în funcție, de exemplu, modificări ale greutății corporale, închis într-o rază mică, în cazul în care centrul de deplasare al sferei de la un punct la altul, și așa mai departe. De aceea, matematica prefera termeni neutri, referindu-se la diferența dintre incrementul funcției. o valoare Ax - creștere a argumentului.

Să presupunem, de exemplu. Apoi, rata medie de schimbare a funcției pe intervalul [1, 3] este egal cu

Interpretarea fizică a ratei medii de schimbare a funcției este evidentă. Dacă descrie dependența căii de particule traversate de x timp mișcării sale, atunci este viteza medie a particulelor în intervalul de timp, Ax.

Instantaneu funcția de schimbare a vitezei este o funcție de rata medie de schimbare într-un interval infinitezimal Ax. Mai mici Ax. cu cât viteza medie pentru viteza instantanee. Termenul „rata instantanee de schimbare a funcției“ exprimă esența discuției conceptului, cu toate acestea, este de obicei menționată ca viteza instantanee a funcției derivată și reprezintă o expresie simbolică.
Astfel, derivata funcției este limita a creșterii raportului a funcției la incrementarea ultimului argument tinde la zero:

(Expresia de pe partea stângă a acestei ecuații se citește „eff Te pentru dez X“.) Funcția derivat, de asemenea, notat că se citește ca „bar eff X“.

Funcția având un derivat finit într-un punct, denumit diferențiabilă în acest moment. Se spune că funcția este derivabila pe un interval în cazul în care este derivabila la fiecare punct al acestui interval.

Funcția derivat poate fi găsit numeric, grafic sau calculat prin formulele algebrice. Pentru găsirea numeric punctul x, folosind formula aproximativă

Ilustrăm domeniul de aplicabilitate a acestei formule calcule numerice. Să presupunem, de exemplu. Rezultatele de calcul al derivatului funcției x = 1 pentru diferite valori ale prezentate în tabelul Ax 1.