O colecție de probleme de algebra

Studiul Derivata și aplicarea acesteia a funcției K X

§ 219. derivata funcției.

De-a lungul cursului școlar de algebră și funcțiile elementare am extins conceptele matematice și să le aprofundeze, ceea ce duce la o concepte mai generale, mai complexe. Același lucru trebuie să facem în această secțiune.

Care este viteza instantanee, așa cum este definit în § 218?

Există o funcție s (t), indicând calea parcursă de corpul în timp de la 0 la t. Argumentul T este dat un priraschenieτ. adică, în loc de valoarea lui t este considerată t + τ. Această creștere a argumentului corespunde funktsiis următor increment (t):

Această creștere a funcției împărțit la incrementarea τ argumentul

și atunci când sunt luați limita τ -> 0. Expression

Acesta poate fi privit ca „viteza medie“ izmeyeniya funcția s (t) în intervalul de la t la t + τ. iar limita acestui raport la τ -> 0 - ca rata instantanee de schimbare a acestei funcții la momentul t.

Funcția Argumentul de mai sus s (t) este calea parcursă de către organism în timp de la 0 la t. Acest lucru impune funcția s (t) anumite limitări. În special, ar trebui să fie determinată numai pentru valori non-negative ale argumentului t (după t - timp) primesc numai valori non-negative (e - lungime cale) și să fie tot mai uniform (mai mult timp, cu atât mai mare distanța parcursă). Acum vom generaliza rezultatele noastre la funcții arbitrare, în general vorbind, nu sunt legate de mișcarea corpurilor.

* Expresia δx0 citi: delta X zero. Aceasta este una, expresia indivizibilă. Nu ar trebui să fie confundat cu produsul δ • X0.

** δy0, de asemenea, expresia inseparabile. Nu ar trebui să fie confundat cu produsul δ • y0.

Reprezintă rata medie a funcției de schimbare f (x) în intervalul de la x0 la kx0 + δx0. Această viteză medie depinde în mod evident, atât pe X0. și de la δx0. Închirierea δx0 la zero, obținem rata instantanee de variație a funcției f (x) x = x0:

(Cu excepția cazului, desigur, există limita). Pentru o anumită funcție f (x), această limită depinde de x0, și se numește derivata funcției f (x) în tochkeh = x0. Fiecare valoare de x0 corespunde unei valori a ratei instantanee a schimbării funcției f (x). Prin urmare, limita (dacă există)

reprezintă rata instantanee de variație a funcției f (x) într-un tochkeh arbitrar. Acesta poate fi văzut ca o nouă funcție a argumentului x. Această nouă caracteristică se numește derivata unei funcții date f (x).

Adesea expresia „derivata funcției f (x)«cuvânt»de la„este coborât și spunem“proizvodnaya funcția f (x)".

În matematică, folosit unele simboluri derivate. Vom folosi următoarea notație: y „și f“ (x):

Luați în considerare câteva exemple.

Exemplul 1. Găsiți derivata funcției f (x) = c. unde c = o constantă.

1744. Găsiți derivații din următoarele funcții:

1745. Atunci când corpul este încălzit schimbările de temperatură T cu timpul t conform cu T = legea 0,4t 2 (T - temperatura în grade, t - timpul în secunde). Caută:

a) rata medie de schimbare a temperaturii corpului într-un interval de timp de la t1 = 4 t2 = sec la 8 sec;

b) rata instantanee de variație a temperaturii corpului la timpul t = 5 secunde.

1746. curent I amperi variază în funcție de timpul t conform legii I = 0,5t 2. unde t - numărul de secunde. Găsiți rata de variație a curentului la sfârșitul cinci secunde.

Realizat de uCoz