integrale triple

integralelor triple au aceleași proprietăți ca integralele duble (liniaritatea, formula de aditivitate valoare medie etc.)

I. Calculul integralelor triple prin re-integrare.

1. Să presupunem că funcția f (x, y z) este continuă în T. art

Mai întâi, să T = [a, b; c, d; e, f] - un paralelipiped dreptunghiular, este proiectată pe planul YZ într-un dreptunghi R = [c, d; e, f]. atunci

Înlocuirea în (1) dublu integrală repetată obține

Calculul triplu integrală se reduce la trei calcule consecutive ale integralele definite.

Dacă primele două integralele din (2) sunt combinate într-o dublă, va fi

unde P = [a, b; c, d] - paralelipiped proiecția T pe planul xy.

Rețineți că puteți schimba rolul variabilelor în aceste cazuri.

2. Regiunea Fie T închisă între plane x = a și x = b, mai mult decât atât, fiecare secțiune a regiunii T reprezintă Quadrature plan figura lui G (x) (Fig. 1). atunci

3. Să presupunem acum că corpul este T "lemn cilindric" mărginit, deasupra și dedesubt, respectiv, suprafețele z = Z1 (x, y) și z = Z2 (x, y). proiecția pe planul xy în unele figura squarability G (Figura 2), z1 (x, y) și z2 (x, y) - continuu în G. Atunci

Rețineți că, împreună cu formulele de mai sus să aibă loc și cum ar fi permutare, rezultând variabilelor x, y și z.

În cazul în care condițiile

1. Display (6) bijectively;

2. Funcții în (6) continuu - diferențiabilă în

3. Jacobi

atunci avem formula

Formula (6) se numește coordonatele curbilinii (u, v, w) în T. Luați în considerare exemple de coordonate curbilinii.

1. Coordonatele cilindrice sunt coordonate polare în planul xy compus cu obișnuitul cartezian applicate z (Fig. 3).

Fie M (x, y, z) - un punct arbitrar într-un spațiu xyz. P - proiecția punctului M pe planul xy. Punctul M este definit în mod unic printr-un triplet de numere - coordonatele polare ale punctului P. z - punctul applicate M. formule referitoare le cu carteziană au forma

Jacobiană (8)

2. Coordonate sferice. Fie M (x, y) - punct arbitrar într-un spațiu xyz. P - proiecția punctului M pe planul xy. Punctul M este definit în mod unic de trei numere, unde r - distanța de la punctul M la punctul 0, - unghiul dintre razele OM și OZ. - unghiul polar al punctului P pe planul xy. Trei numere numite coordonate sferice ale punctului M.

Acestea sunt conectate cu formule dreptunghiulare

cartografiere Jacobian. Utilizat uneori generalizate coordonate sferice.

Cubed regiune Volumul V T (corp cubic) în xyz spațiu exprimat prin formula

Trecând în această egalitate la noile variabile în conformitate cu formulele (6), obținem expresia volumului câmpului T în coordonate curbilinii

Fie T - corp material (zona cubed), cu o densitate

Example1. Se calculează volumul corpului delimitat de suprafețe: X 2 + y 2 + z 2 = a 2 x 2 2 + y - ax = 0. (fig 5).

Decizie. Luați în considerare un sfert parte a corpului, lezhaschoyu în primul Octant. O parte a suprafeței cilindrului tăiat este proiectat pentru a. atunci

Ne întoarcem în integralei în coordonate cilindrice conform punctului (8). Ecuația cercului x? + Y? - ax = 0 este transformat într-o curbă și ecuația suprafeței - o vedere

în cazul în care T - regiunea delimitată suprafețe

Decizie. Ne întoarcem în coordonate sferice integrală prin formulele (9). Apoi, domeniul de integrare poate fi stabilită de inegalitățile