Cum de a calcula integrala tripla

§ 12. Calculul integralelor triple

Să presupunem că spațială (tridimensională) zona V, delimitată de suprafața S închisă, are următoarele proprietăți:

.. 1) fiecare linie paralelă cu o axă trasată prin interne (adică, nu situată pe frontieră S) regiunea V a unui punct S intersectează suprafața de la două puncte;

2) suprafața întregului V este proiectat pe xy-plan în zona corectă (bidimensională)

3) fiecare parte a regiunii V, tăiat cu un plan paralel cu fiecare dintre coordonate planele are, de asemenea, proprietățile 1) și 2).

Regiunea V, cu această proprietate, vom numi zona tridimensională corectă.

Corecte tridimensionale regiuni sunt, de exemplu, elipsoidală, paralelipipedică, tetraedru, și așa mai departe. G. EXEMPLU neregulată regiune tridimensională este dat în Fig. 332. În această secțiune vom considera numai zonele corecte.

Lăsați suprafața delimitând regiunii V de jos are ecuația, iar suprafața care delimitează zona de sus, are ecuația.

Noi introducem conceptul triplei integralei asupra regiunii V printr-o funcție de trei variabile definite și continue în zona V. Să presupunem că regiunea D - proiecția V pe planul - este delimitat de linii

Apoi, o integrală de trei ori a funcției regiunii V

Rețineți că, ca urmare a integrării prin substituție și limitele acolade obține o funcție de x și y. În plus, dubla integrala calculată a acestei funcții peste zona D, așa cum sa discutat mai sus.

Iată un exemplu de calcul al integralei triplu al zonei V. Exemplul 1. Evaluarea integralei triplă a funcției regiunii V delimitate de avioane

Decizie. Această zonă este corectă, este limitat de planurile sus și de jos și este proiectat pe planul xy în regiunea plană dreapta D, care este un triunghi delimitat de integrant drept consecință triplu calculat după cum urmează:

Plasarea limitelor pe această dublă integral asupra regiunii D, Primire

Să luăm acum în considerare unele proprietăți ale integralei triplu. Proprietatea 1. Dacă regiunea V împărțită în două regiuni pe un plan paralel cu un plan de coordonate, trei oară integral pe teren V este suma suprafețelor de integralelor triple.

Dovada acestei proprietăți se desfășoară exact în același mod ca și dovada proprietăților corespunzătoare ale integralelor duble. Prin urmare, nu este nevoie să-l repete din nou.

Corolar. Când orice domenii de regiune partiție V într-un număr finit de planuri paralele cu coordonate plane, egalitatea

Proprietatea 2 (Evaluarea Teorema de triplu integrale). Dacă M - respectiv cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției din regiunea V, are loc inegalitatea: unde V este volumul tehnicii triplu integrantă a funcției pe V. regiune

Dovada. Noi prima estimare - interior integrală

în triplu integralei

Astfel, integrala interioară nu depășește expresia

Astfel, prin Teorema 1 § aproximativ integralele duble obținem (denotând prin D regiunii V a proiecției pe un plan

Dar acesta din urmă două oară integral egală cu dublul integralei funcției este deci egală cu volumul regiunii care este cuprins între suprafețele r. E. zona Volum V. Prin urmare,

În mod similar se dovedește că Astfel, proprietatea 2 este demonstrată.

Proprietatea 3 (valoarea medie teorema). De trei ori integrală a unei funcții continue asupra regiunii V este produsul valorii sale volumului funcției la o anumită regiune P punctul V, m.

Dovada acestei proprietăți se realizează în același mod ca și proprietăți similare cu dovada dublei integralei (a se vedea. § 2 Proprietatea 3, ecuația (4)). Acum putem demonstra teorema pe vychislenyi triplă integrală.

Teorema. integrală triplă a funcției în regiunea corectă V este egală cu de trei ori integrala pe câmp aceeași t. E.

Dovada. Împărțim domeniul V planuri paralele cu planul de coordonate pe domeniile: Ca mai sus, denota integrala trei ori a funcției regiunii V, și de trei ori integrală a acestei funcții asupra regiunii, apoi, pe baza investigării proprietăților pot scrie egalitatea

Fiecare dintre termenii de pe partea dreaptă a acestei ecuații, transformăm formula (2):

în cazul în care - o regiune punct

Pe partea dreaptă a acestei egalitati este suma integrală. Prin ipoteză, funcția este continuă în zona V, și, prin urmare, limita suma care tinde la zero și există cel mai mare diametru este egal cu triplu integrală a funcției V. câmpului Astfel, luând limita în ecuația (4), obținem

sau în final, prin schimbarea în picioare pe dreapta și stânga a expresiei,

Aici ecuațiile suprafețelor care delimitează regiunea V corectă sus și de jos. Linii limita zona D, care este zona de proiecție V pe planul xy.

Notă. Similar cu modul în care a fost în cazul unui dublu integrală integrală, triplă poate face un alt ordin de integrare a variabilelor și celălalt exterior, cu excepția cazului, desigur, permite forma de V.

Calcularea volumului unui corp utilizând triplu integrală. În cazul în care integrandul

integralei triplu asupra regiunii V exprimă volumul regiunii V:

Exemplul 2. Se calculează volumul unui elipsoid

Decizie. (. Figura 335) elipsoidul este limitată mai jos și pe suprafața superioară - proiecția unei suprafețe elipsoidului în planul Oxy (regiunea D) este o elipsă - Prin urmare, reducerea volumului de calcul la calcularea triple integralei, obținem

La calcularea integrala interior este considerată permanentă. face schimbarea

Variabila y este schimbat atât de schimbat de la înainte. Substituind în integrală a noilor limite, obținem

Dacă am obține volumul unei sfere: