Ce este un derivat
Derivata - conceptele de bază ale analizei matematice. Se caracterizează schimbarea funcției x la un moment dat. În acest caz, derivatul în sine este o funcție a argumentului x
Derivata unei funcții într-un punct este limita (dacă există și este finită) raportul funcției increment la incrementarea argumentului, cu condiția ca acesta din urmă tinde la zero.
Cele mai frecvent utilizate următoarele notații derivatului:
Exemplul 1. Folosind definiția derivatului. găsi derivata funcției
Decizie. Din definiția derivatului urmează următoarea schemă de calcul.
Să ne dea incrementul argumentul (delta) și vom găsi incrementul funcției:
Am găsit raportul dintre funcția creștere cu creșterea argumentului:
Calculăm limita acestui raport cu condiția ca incrementarea argumentul tinde la zero, adică, derivatul dorit:
Pe conceptul de derivat condus Galileo pentru a studia legea căderii libere a corpurilor, și într-un sens mai larg - problema vitezei instantanee a mișcării rectilinii inegale a unui punct.
Să piatra ridicată și apoi eliberat din repaus. Calea lui. a călătorit în timpul t. este o funcție de timp, adică, s = s (t). Dacă ați stabilit punctul de legea de mișcare, este posibil să se determine viteza medie pentru orice perioadă de timp. Să presupunem că în momentul în care piatra a fost în poziția A. și în acest moment - în poziția B. Pentru perioada de timp (t sus) punctul a plecat. Prin urmare, viteza medie în acest timp că obznachim prin e
Cu toate acestea, mișcarea unui corp în cădere liberă este în mod clar inegală. Viteza v de incidență este în creștere. Adică, viteza medie nu mai este suficient pentru a descrie viteza traficului pe diferitele secțiuni ale drumului. O astfel de caracterizare mai precisă decât o cantitate mai mică de timp. Prin urmare, se introduce următorul concept: viteza instantanee a mișcării rectilinii (sau o viteză de la un moment dat t) este limita la o viteză medie:
(Cu condiția ca această limită există și e finit).
Astfel, limita obrazzom viteza instantanee a raportului este funcția increment s (t) la t incrementa cu argumentul Acesta este un derivat, care, în termeni generali scrie:.
Decizia a marcat problema este sensul fizic al derivatului. Astfel, derivata funcției y = f (x) la punctul x este limita (dacă există și este finită) funcție increment cu creșterea argumentului, cu condiția ca acesta din urmă tinde la zero.
Exemplul 2. Găsiți derivata funcției
Decizie. Din definiția unui derivat dă următorul calendar pentru calculele sale.
Pasul 1: Să dăm incrementarea argumentului și pentru a găsi
Pasul 2. Găsim incrementul funcției:
Pasul 3. Să ne găsim raportul de creștere a funcției la incrementarea argumentului:
Pasul 4. Se calculează limita la acest raport, și anume derivat:
Fie funcția definită pe intervalul, și lăsați punctul M de pe graficul funcției corespunde cu valoarea argumentului, iar punctul P - valoarea. Desenați prin linia punctelor M și P și vom numi tăiat. Notăm unghiul dintre tăietura și axa. În mod evident, acest lucru depinde de unghi.
apoi o linie dreaptă cu o pantă
care trece prin punctul, numită poziție de limitare la MR intersectând (sau utilizare).
Tangenta la graficul funcției la poziția limită M este secantă cu MR, sau, la fel.
Din definiția rezultă că tangenta existență suficientă că există o limită
în plus, limita egal cu unghiul de înclinare a tangentei la axa.
Dăm acum o definitie precisa a tangenta.
Tangenta la graficul funcției în punctul se numește o linie care trece prin punctul și are pantă, adică linie dreaptă ecuație
Din această definiție rezultă că funcția derivat este egală cu panta tangentei la graficul funcției în punctul cu abscisa x. Acesta este înțelesul geometric al derivatului. Astfel,
unde - unghiul de înclinare a tangentei la abscisă, adică panta tangentei.
Exemplul 3. Găsiți derivatul funcției și valoarea acestui derivat de la.
Decizie. Noi folosim schema dată în exemplul 1.
Expresia sub semnul limită nu este definit pentru (0/0 tip incertitudine), astfel încât să o transforme prin eliminarea iraționalitate în numărătorul și apoi reducerea fracției:
Să ne găsim valoarea derivatului la: