La aplicarea teoremei Vieta pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice

În clasa a opta, elevii sunt introduse pentru ecuații și metodele de rezolvare a acestora pătratice. În același timp, experiența arată că majoritatea studenților în rezolvarea ecuațiilor pătratice utilizarea completă este doar o singură cale - formula unei rădăcini ecuația de gradul doi. Pentru studenții fluent în abilitățile de conturi orale, această metodă este în mod clar irațională. Rezolva ecuații pătratice și elevii au adesea în liceu, și apoi petrece timp cu privire la calculul discriminantului este pur și simplu un păcat. În opinia mea, studiul ecuațiilor pătratice, ar trebui să se acorde mai mult timp și atenție la utilizarea teoremei lui Vieta (Programul AG Mordkovich Algebra-8, doar două ore pentru a explora tema este planificată „Teorema de Vieta. Descompunerea polinom pătratic în factori liniari“).

In cele mai multe manuale de algebră, această teoremă este formulată pentru ecuația pătratică redusă, care prevede că, dacă ecuația are rădăcini, iar egalitati dețin pentru ei. Apoi a formula Reciproca teoremei lui Vieta, și oferă o serie de exemple pentru a practica pe acest subiect.

Ia exemple concrete și să urmărească soluții pentru logica folosind teorema Vieta.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația.

Să presupunem că această ecuație are rădăcini, și anume, și. Apoi, prin teorema lui Vieta în timp ce egalitati

Rețineți că produsul din rădăcini - un număr pozitiv. Acest lucru înseamnă că rădăcinile același semn. Și ca suma rădăcinilor este, de asemenea, un număr pozitiv, putem trage concluzia că cele două rădăcini ale ecuației - pozitive. Să ne întoarcem la produsul din rădăcini. Să presupunem că rădăcinile ecuației - numere întregi pozitive. Apoi a obține dreptul de prima egalitate este posibilă numai în două moduri (până la ordinea factorilor): sau. Verificați pentru perechile de numere propuse de fezabilitate a doua afirmație Vieta :. Astfel, numerele 2 și 3 satisfac ambele ecuații, și, prin urmare, sunt rădăcinile unei ecuații predeterminate.

Etapele de bază în soluția considerațiilor de mai sus ecuația pătratică folosind Teorema Wyeth:

Vieta înregistrează declarația teoremei

(Prima ecuație este recomandată pentru a înregistra produsul din rădăcini);

• pentru a determina semnele rădăcinile ecuației (dacă produsul și suma rădăcinilor - pozitiv, atunci ambele rădăcini - un număr pozitiv dacă produsul rădăcinilor -. un număr pozitiv, iar rădăcinile sumei - negativ, atunci atât rădăcina. - un număr negativ dacă produsul rădăcinilor - un număr negativ, atunci rădăcinile sunt . În acest caz, semne diferite, în cazul în care suma rădăcinilor - este pozitiv, mare rădăcină absolută a unui număr pozitiv, iar în cazul în care suma rădăcinilor este mai mică decât zero, modulo rădăcină mai mare - număr negativ);
• ridica o pereche de numere întregi al căror produs dă dreptul la prima intrare ecuația (*);
• din perechile gasite de numere pentru a alege perechea care, atunci când este substituit în a doua ecuație din înregistrare (*) da o adevărată egalitate;
• indică răspunsul găsit rădăcini.

Iată câteva exemple.

Exemplul 2: rezolva ecuația.

Să - rădăcinile ecuației date. Apoi, prin Teorema Vieta Rețineți că produsul - un rezultat pozitiv, iar suma - un număr negativ. Prin urmare, atât rădăcina - numere negative. Selectăm perechea de multiplicatori da produsul 10 (-1 la -10, -5 și -2). A doua pereche de numere pentru un total de -7. Prin urmare, numărul de -2 și -5 sunt rădăcinile ecuației.

Exemplul 3: rezolva ecuația.

Să - rădăcinile ecuației date. Apoi, prin Teorema Vieta Rețineți că produsul - negativ. Deci, rădăcinile - un semn diferit. rădăcinile sumei - ca număr negativ. Prin urmare, o mai mare modulo rădăcină - negativ. Selectăm perechea de multiplicatori da produsul 10 (-10 și 1, 2 și 5). A doua pereche de numere pentru un total de -3. Prin urmare, numerele 2 și -5 sunt rădăcinile ecuației.

Rețineți că teorema lui Vieta, în principiu, pot fi formulate pentru o ecuație pătratică completă: dacă ecuația de gradul doi are rădăcini, iar egalitati dețin pentru ei. Cu toate acestea, utilizarea acestei teoremă este destul de problematică, deoarece ecuația de gradul doi pe deplin conform cu cel puțin una din rădăcini (dacă sunt disponibile, desigur) este un număr fracționar. Și să lucreze lung și greu cu selectarea fracțiunilor. Cu toate acestea, există o soluție.

Luați în considerare ecuația pătratică completă. Înmulțiți ambele părți cu un prim coeficient de, și scrie ecuația ca. Vom introduce o nouă variabilă și a obține dat o ecuație pătratică, rădăcinile care (dacă este cazul) pot fi găsite pe teorema Vieta. Apoi rădăcinile ecuației inițiale va fi. Rețineți că personalul auxiliar de scriere de mai sus ecuație este foarte simplu: al doilea coeficient este stocat, iar al treilea factor este egal cu produsul de ac. În anumite elevi de calificare constituie direct ecuația auxiliar găsi rădăcinile teorema lui Wyeth și indică rădăcinile predeterminate ecuația completă. Iată câteva exemple.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația.

Formăm o ecuație auxiliară și Vieta teorema, găsim rădăcinile sale. Acest lucru înseamnă că rădăcinile ecuației inițiale.

Exemplul 5. Solve ecuație.

Ecuația auxiliară are forma. Vieta teorema pentru rădăcinile sale. Noi găsim rădăcinile ecuației originale.

Și un alt caz, în cazul în care aplicarea teoremei Vieta permite verbal pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice complet. Este ușor de demonstrat că numărul 1 este o rădăcină a ecuației dacă și numai dacă. Al doilea este situat la rădăcina teorema lui Wyeth, si este egal. O altă declarație: că numărul -1 este o rădăcină a ecuației este necesar și suficient ca. Apoi, a doua rădăcină a ecuației este teorema Vieta. Declarații similare pot fi formulate pentru ecuația de gradul doi de mai sus.

Exemplul 6. Solve ecuație.

Rețineți că suma coeficienților ecuației este zero. Deci rădăcinile ecuației.

Exemplul 7. rezolva ecuația.

Pentru coeficienții acestei ecuații are proprietatea (într-adevăr, 1 - (- 999) + (- 1000) = 0). Deci rădăcinile ecuației.

Exemple de utilizare a teoremei Wyeth

Sarcina 1. Rezolva dat ecuația pătratică folosind teorema Vieta.